Trojuholník 13 15 23

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13 b = 15 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 91,47223318824
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Uhol ∠ A = α = 32,02439959746° = 32°1'26″ = 0,55989241694 rad
Uhol ∠ B = β = 37,72437572832° = 37°43'26″ = 0,65884037708 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,25222467422° = 110°15'8″ = 1,92442647134 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,07326664434
Výška trojuholníka: v_b = 12,19663109177
Výška trojuholníka: v_c = 7,95441158159

Ťažnica: t_a = 18,29661744635
Ťažnica: t_b = 17,11099386323
Ťažnica: t_c = 8,04767384697

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,58771502699
Polomer opísanej kružnice: R = 12,25878049223

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[10,28326086957; 7,95441158159]
Ťažisko: T[11,09442028986; 2,65113719386]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -4,24330863192]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 3,58771502699]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,97660040254° = 147°58'34″ = 0,55989241694 rad
∠ B' = β' = 142,27662427168° = 142°16'34″ = 0,65884037708 rad
∠ C' = γ' = 69,74877532578° = 69°44'52″ = 1,92442647134 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 15 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 3}) = 32 ° 1^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 3}) = 37 ° 4 3^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 1^{'} 26 " - 37 ° 4 3^{'} 26 " = 110 ° 1 5^{'} 8 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 1 , 4 7}{2 5 , 5} = 3, 59

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 5 \cdot 2 3}{4 \cdot 3 , 5 8 7 \cdot 2 5 , 5} = 12, 26

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník