Trojuholník 13 19 23

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13 b = 19 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 123.54997469633
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Uhol ∠ A = α = 34,4177308278° = 34°25'2″ = 0,60106953491 rad
Uhol ∠ B = β = 55,69986751605° = 55°41'55″ = 0,97221252705 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,88440165615° = 89°53'2″ = 1,56987720339 rad

Výška trojuholníka: v_a = 198,9999610713
Výška trojuholníka: v_b = 132,9999733646
Výška trojuholníka: v_c = 10,73991084316

Ťažnica: t_a = 20,06986322404
Ťažnica: t_b = 16,08657079421
Ťažnica: t_c = 11,52217186218

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,49108998896
Polomer opísanej kružnice: R = 11.55000235622

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[7,32660869565; 10,73991084316]
Ťažisko: T[10,10986956522; 3,58797028105]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 0,02332793999]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,49108998896]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,5832691722° = 145°34'58″ = 0,60106953491 rad
∠ B' = β' = 124,30113248395° = 124°18'5″ = 0,97221252705 rad
∠ C' = γ' = 90,11659834386° = 90°6'58″ = 1,56987720339 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 19 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 19 + 23 = 55

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 13) (27, 5 - 19) (27, 5 - 23) S = 15252, 19 = 123, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 3 , 5}{1 3} = 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 3 , 5}{1 9} = 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 3 , 5}{2 3} = 10, 74

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 3}) = 34 ° 2 5^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 3}) = 55 ° 4 1^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 2 5^{'} 2 " - 55 ° 4 1^{'} 55 " = 89 ° 5 3^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 3 , 5}{2 7 , 5} = 4, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 9 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 4 9 1 \cdot 2 7 , 5} = 11, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 20, 069 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 16, 086 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 11, 522

Vypočítať ďaľší trojuholník