Trojuholník SSU
Trojuholník má dve riešenia, strana c=191.95768821756 a c=52.74662203243
#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 135 b = 90 c = 191,95768821756Obsah trojuholníka: S = 5475,90326615094
Obvod trojuholníka: o = 416,95768821756
Semiperimeter (poloobvod): s = 208,47884410878
Uhol ∠ A = α = 39,34404765045° = 39°20'26″ = 0,68766208443 rad
Uhol ∠ B = β = 25° = 0,4366332313 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,66595234955° = 115°39'34″ = 2,01986394963 rad
Výška trojuholníka: va = 81,12444838742
Výška trojuholníka: vb = 121,68767258113
Výška trojuholníka: vc = 57,0533465335
Ťažnica: ta = 133,85661627542
Ťažnica: tb = 159,72223287687
Ťažnica: tc = 62,85441076331
Polomer vpísanej kružnice: r = 26,26660380274
Polomer opísanej kružnice: R = 106,47990712419
Súradnice vrcholov: A[191,95768821756; 0] B[0; 0] C[122,35215512499; 57,0533465335]
Ťažisko: T[104,76994778085; 19,01878217783]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[95,97884410878; -46,10878242697]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[118,47884410878; 26,26660380274]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,66595234955° = 140°39'34″ = 0,68766208443 rad
∠ B' = β' = 155° = 0,4366332313 rad
∠ C' = γ' = 64,34404765045° = 64°20'26″ = 2,01986394963 rad
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Kosínusová veta
a=135 b=90 β=25° b2=a2+c2−2accosβ 902=1352+c2−2⋅ 135⋅ c⋅ cos25° c2−244,703c+10125=0 p=1;q=−244,703;r=10125 D=q2−4pr=244,7032−4⋅1⋅10125=19379,608373074 D>0 c1,2=2p−q±D=2244,7±19379,61 c1,2=122,351551±69,605331 c1=191,956882176 c2=52,746220324 c>0 c=191,96
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=135 b=90 c=191,96
2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=135+90+191,96=416,96
3. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2416,96=208,48
4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=208,48(208,48−135)(208,48−90)(208,48−191,96) S=29985509,96=5475,9
5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=1352⋅ 5475,9=81,12 vb=b2 S=902⋅ 5475,9=121,69 vc=c2 S=191,962⋅ 5475,9=57,05
6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 191,96902+191,962−1352)=39°20′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 135⋅ 191,961352+191,962−902)=25° γ=180°−α−β=180°−39°20′26"−25°=115°39′34"
7. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=208,485475,9=26,27
8. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 26,266⋅ 208,478135⋅ 90⋅ 191,96=106,48
9. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 191,962−1352=133,856 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 191,962+2⋅ 1352−902=159,722 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1352+2⋅ 902−191,962=62,854
#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 135 b = 90 c = 52,74662203243Obsah trojuholníka: S = 1504,67773264123
Obvod trojuholníka: o = 277,74662203243
Semiperimeter (poloobvod): s = 138,87331101622
Uhol ∠ A = α = 140,66595234955° = 140°39'34″ = 2,45549718093 rad
Uhol ∠ B = β = 25° = 0,4366332313 rad
Uhol ∠ C = γ = 14,34404765045° = 14°20'26″ = 0,25502885313 rad
Výška trojuholníka: va = 22,29215159468
Výška trojuholníka: vb = 33,43772739203
Výška trojuholníka: vc = 57,0533465335
Ťažnica: ta = 29,74661237685
Ťažnica: tb = 92,07992152402
Ťažnica: tc = 111,65655375267
Polomer vpísanej kružnice: r = 10,83549076697
Polomer opísanej kružnice: R = 106,47990712419
Súradnice vrcholov: A[52,74662203243; 0] B[0; 0] C[122,35215512499; 57,0533465335]
Ťažisko: T[58,36659238581; 19,01878217783]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[26,37331101622; 103,16112896047]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[48,87331101622; 10,83549076697]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 39,34404765045° = 39°20'26″ = 2,45549718093 rad
∠ B' = β' = 155° = 0,4366332313 rad
∠ C' = γ' = 165,66595234955° = 165°39'34″ = 0,25502885313 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Kosínusová veta
a=135 b=90 β=25° b2=a2+c2−2accosβ 902=1352+c2−2⋅ 135⋅ c⋅ cos25° c2−244,703c+10125=0 p=1;q=−244,703;r=10125 D=q2−4pr=244,7032−4⋅1⋅10125=19379,608373074 D>0 c1,2=2p−q±D=2244,7±19379,61 c1,2=122,351551±69,605331 c1=191,956882176 c2=52,746220324 c>0 c=191,96
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=135 b=90 c=52,75
2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=135+90+52,75=277,75
3. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2277,75=138,87
4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=138,87(138,87−135)(138,87−90)(138,87−52,75) S=2264053,86=1504,68
5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=1352⋅ 1504,68=22,29 vb=b2 S=902⋅ 1504,68=33,44 vc=c2 S=52,752⋅ 1504,68=57,05
6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 52,75902+52,752−1352)=140°39′34" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 135⋅ 52,751352+52,752−902)=25° γ=180°−α−β=180°−140°39′34"−25°=14°20′26"
7. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=138,871504,68=10,83
8. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 10,835⋅ 138,873135⋅ 90⋅ 52,75=106,48
9. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 52,752−1352=29,746 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52,752+2⋅ 1352−902=92,079 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1352+2⋅ 902−52,752=111,656
Vypočítať ďaľší trojuholník