Trojuholník 14 17 18
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 14 b = 17 c = 18Obsah trojuholníka: S = 111,98663272904
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Uhol ∠ A = α = 47,04990078078° = 47°2'56″ = 0,8211160096 rad
Uhol ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,23106049282° = 70°13'50″ = 1,22657552917 rad
Výška trojuholníka: va = 15,99880467558
Výška trojuholníka: vb = 13,17548620342
Výška trojuholníka: vc = 12,44329252545
Ťažnica: ta = 16,04768065359
Ťažnica: tb = 13,7022189606
Ťažnica: tc = 12,70882650271
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,57108705017
Polomer opísanej kružnice: R = 9,56436675111
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,41766666667; 12,44329252545]
Ťažisko: T[8,13988888889; 4,14876417515]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 3,23547698935]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,57108705017]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,95109921922° = 132°57'4″ = 0,8211160096 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 109,76993950718° = 109°46'10″ = 1,22657552917 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=17 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+17+18=49
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−14)(24,5−17)(24,5−18) S=12540,94=111,99
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 111,99=16 vb=b2 S=172⋅ 111,99=13,17 vc=c2 S=182⋅ 111,99=12,44
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 18172+182−142)=47°2′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−172)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−47°2′56"−62°43′13"=70°13′50"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=24,5111,99=4,57
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,571⋅ 24,514⋅ 17⋅ 18=9,56
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 182−142=16,047 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 142−172=13,702 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 172−182=12,708
Vypočítať ďaľší trojuholník