Trojuholník 14 17 22

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 14 b = 17 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 1198,9997373947
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 39,52110920523° = 39°31'16″ = 0,69897731803 rad
Uhol ∠ B = β = 50,59992773209° = 50°35'57″ = 0,88331239884 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,88796306268° = 89°52'47″ = 1,56986954849 rad

Výška trojuholníka: v_a = 176,999962485
Výška trojuholníka: v_b = 143,9999691053
Výška trojuholníka: v_c = 10,8188157945

Ťažnica: t_a = 18,37111730709
Ťažnica: t_b = 16,3633068172
Ťažnica: t_c = 11,02327038425

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,49105561281
Polomer opísanej kružnice: R = 111,0000242745

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[8,88663636364; 10,8188157945]
Ťažisko: T[10,29554545455; 3,60660526483]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 0,02331092947]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,49105561281]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,47989079477° = 140°28'44″ = 0,69897731803 rad
∠ B' = β' = 129,40107226791° = 129°24'3″ = 0,88331239884 rad
∠ C' = γ' = 90,12203693732° = 90°7'13″ = 1,56986954849 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 17 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 17 + 22 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 14) (26, 5 - 17) (26, 5 - 22) S = 14160, 94 = 119

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 9}{1 4} = 17 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 9}{1 7} = 14 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 9}{2 2} = 10, 82

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 2}) = 39 ° 3 1^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 2}) = 50 ° 3 5^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 3 1^{'} 16 " - 50 ° 3 5^{'} 57 " = 89 ° 5 2^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 9}{2 6 , 5} = 4, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 7 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 4 9 1 \cdot 2 6 , 5} = 11

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 18, 371 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 16, 363 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 11, 023

Vypočítať ďaľší trojuholník