Trojuholník 14 17 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 14 b = 17 c = 24

Obsah trojuholníka: S = 116,80551261718
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Uhol ∠ A = α = 34,93299246904° = 34°55'48″ = 0,61096421933 rad
Uhol ∠ B = β = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,02114496355° = 101°1'17″ = 1,76331569113 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,6866446596
Výška trojuholníka: v_b = 13,74217795496
Výška trojuholníka: v_c = 9,73437605143

Ťažnica: t_a = 19,58331560276
Ťažnica: t_b = 17,71329895839
Ťažnica: t_c = 9,92547166206

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,24774591335
Polomer opísanej kružnice: R = 12,22554908393

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[10,06325; 9,73437605143]
Ťažisko: T[11,35441666667; 3,24545868381]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -2,33772261899]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 4,24774591335]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,07700753096° = 145°4'12″ = 0,61096421933 rad
∠ B' = β' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ C' = γ' = 78,97985503645° = 78°58'43″ = 1,76331569113 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 17 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 17 + 24 = 55

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 14) (27, 5 - 17) (27, 5 - 24) S = 13643, 44 = 116, 81

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 8 1}{1 4} = 16, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 8 1}{1 7} = 13, 74 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 8 1}{2 4} = 9, 73

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 4}) = 34 ° 5 5^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 4}) = 44 ° 2^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 5 5^{'} 48 " - 44 ° 2^{'} 55 " = 101 ° 1^{'} 17 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 6 , 8 1}{2 7 , 5} = 4, 25

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 7 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 2 4 7 \cdot 2 7 , 5} = 12, 23

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 19, 583 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 17, 713 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 9, 925

Vypočítať ďaľší trojuholník