Trojuholník 14 19 22

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 14 b = 19 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 131,7421935237
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Uhol ∠ A = α = 39,07655206502° = 39°4'32″ = 0,68219964923 rad
Uhol ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,11331016833° = 82°6'47″ = 1,43331439834 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,82202764624
Výška trojuholníka: v_b = 13,86875721302
Výška trojuholníka: v_c = 11,9776539567

Ťažnica: t_a = 19,32661480901
Ťažnica: t_b = 15,80334806293
Ťažnica: t_c = 12,5549900398

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,79106158268
Polomer opísanej kružnice: R = 11,10550440952

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[7,25; 11,9776539567]
Ťažisko: T[9,75; 3,99221798557]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 1,52438124416]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,79106158268]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,92444793498° = 140°55'28″ = 0,68219964923 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 97,88768983167° = 97°53'13″ = 1,43331439834 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 19 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 19 + 22 = 55

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 14) (27, 5 - 19) (27, 5 - 22) S = 17355, 94 = 131, 74

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 7 4}{1 4} = 18, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 7 4}{1 9} = 13, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 7 4}{2 2} = 11, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 2}) = 39 ° 4^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 2}) = 58 ° 4 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4^{'} 32 " - 58 ° 4 8^{'} 41 " = 82 ° 6^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 1 , 7 4}{2 7 , 5} = 4, 79

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 9 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 7 9 1 \cdot 2 7 , 5} = 11, 11

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 19, 326 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 15, 803 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 12, 55

Vypočítať ďaľší trojuholník