Trojuholník 14 19 23
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 14 b = 19 c = 23Obsah trojuholníka: S = 132,81656617271
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Uhol ∠ A = α = 37,43443500203° = 37°26'4″ = 0,65333526612 rad
Uhol ∠ B = β = 55,58326112896° = 55°34'57″ = 0,97700995739 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,98330386902° = 86°58'59″ = 1,51881404185 rad
Výška trojuholníka: va = 18,9743665961
Výška trojuholníka: vb = 13,98105959713
Výška trojuholníka: vc = 11,54991879763
Ťažnica: ta = 19.98997487421
Ťažnica: tb = 16,5
Ťažnica: tc = 12,09333866224
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,74334164903
Polomer opísanej kružnice: R = 11,51659611458
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[7,91330434783; 11,54991879763]
Ťažisko: T[10,30443478261; 3,85497293254]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 0,60661032182]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 4,74334164903]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,56656499797° = 142°33'56″ = 0,65333526612 rad
∠ B' = β' = 124,41773887104° = 124°25'3″ = 0,97700995739 rad
∠ C' = γ' = 93,01769613098° = 93°1'1″ = 1,51881404185 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=19 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+19+23=56
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−14)(28−19)(28−23) S=17640=132,82
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 132,82=18,97 vb=b2 S=192⋅ 132,82=13,98 vc=c2 S=232⋅ 132,82=11,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 23192+232−142)=37°26′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 23142+232−192)=55°34′57" γ=180°−α−β=180°−37°26′4"−55°34′57"=86°58′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=28132,82=4,74
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,743⋅ 2814⋅ 19⋅ 23=11,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 232−142=19,9 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 142−192=16,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 192−232=12,093
Vypočítať ďaľší trojuholník