Trojuholník 14 24 27
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 14 b = 24 c = 27Obsah trojuholníka: S = 167,6565711206
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5
Uhol ∠ A = α = 31,16217524168° = 31°9'42″ = 0,54438751804 rad
Uhol ∠ B = β = 62,50770018946° = 62°30'25″ = 1,09109529886 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,33112456886° = 86°19'52″ = 1,50767644846 rad
Výška trojuholníka: va = 23,95108158866
Výška trojuholníka: vb = 13,97113092672
Výška trojuholníka: vc = 12,41989415708
Ťažnica: ta = 24,56662369931
Ťažnica: tb = 17,84765682976
Ťažnica: tc = 14,27441024236
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,15986372679
Polomer opísanej kružnice: R = 13,52877228773
Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[6,4632962963; 12,41989415708]
Ťažisko: T[11,15443209877; 4,14396471903]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; 0,86656132198]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 5,15986372679]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,83882475832° = 148°50'18″ = 0,54438751804 rad
∠ B' = β' = 117,49329981054° = 117°29'35″ = 1,09109529886 rad
∠ C' = γ' = 93,66987543114° = 93°40'7″ = 1,50767644846 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=24 c=27
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+24+27=65
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=265=32,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32,5(32,5−14)(32,5−24)(32,5−27) S=28108,44=167,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 167,66=23,95 vb=b2 S=242⋅ 167,66=13,97 vc=c2 S=272⋅ 167,66=12,42
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 27242+272−142)=31°9′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 27142+272−242)=62°30′25" γ=180°−α−β=180°−31°9′42"−62°30′25"=86°19′52"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32,5167,66=5,16
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,159⋅ 32,514⋅ 24⋅ 27=13,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 272−142=24,566 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 142−242=17,847 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 242−272=14,274
Vypočítať ďaľší trojuholník