Trojuholník 15 15 23
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 15 b = 15 c = 23Obsah trojuholníka: S = 110,75328216345
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Uhol ∠ A = α = 39,94545051898° = 39°56'40″ = 0,69771631336 rad
Uhol ∠ B = β = 39,94545051898° = 39°56'40″ = 0,69771631336 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,11109896204° = 100°6'40″ = 1,74772663863 rad
Výška trojuholníka: va = 14,76770428846
Výška trojuholníka: vb = 14,76770428846
Výška trojuholníka: vc = 9,63106801421
Ťažnica: ta = 17,90994946886
Ťažnica: tb = 17,90994946886
Ťažnica: tc = 9,63106801421
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,17993517598
Polomer opísanej kružnice: R = 11,68114179622
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[11,5; 9,63106801421]
Ťažisko: T[11,5; 3,2110226714]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -2,051073782]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 4,17993517598]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,05554948102° = 140°3'20″ = 0,69771631336 rad
∠ B' = β' = 140,05554948102° = 140°3'20″ = 0,69771631336 rad
∠ C' = γ' = 79,88990103796° = 79°53'20″ = 1,74772663863 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=15 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+15+23=53
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−15)(26,5−15)(26,5−23) S=12266,19=110,75
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 110,75=14,77 vb=b2 S=152⋅ 110,75=14,77 vc=c2 S=232⋅ 110,75=9,63
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 23152+232−152)=39°56′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 23152+232−152)=39°56′40" γ=180°−α−β=180°−39°56′40"−39°56′40"=100°6′40"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=26,5110,75=4,18
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,179⋅ 26,515⋅ 15⋅ 23=11,68
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 232−152=17,909 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 152−152=17,909 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 152−232=9,631
Vypočítať ďaľší trojuholník