Trojuholník 15 15 25
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 15 b = 15 c = 25Obsah trojuholníka: S = 103,64545246986
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Uhol ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ C = γ = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,97702215667 rad
Výška trojuholníka: va = 13,81992699598
Výška trojuholníka: vb = 13,81992699598
Výška trojuholníka: vc = 8,29215619759
Ťažnica: ta = 19,20328643697
Ťažnica: tb = 19,20328643697
Ťažnica: tc = 8,29215619759
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,76988918072
Polomer opísanej kružnice: R = 13,5688010506
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[12,5; 8,29215619759]
Ťažisko: T[12,5; 2,7643853992]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -5,27664485301]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12,5; 3,76988918072]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,97702215667 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=15 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+15+25=55
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−15)(27,5−15)(27,5−25) S=10742,19=103,64
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 103,64=13,82 vb=b2 S=152⋅ 103,64=13,82 vc=c2 S=252⋅ 103,64=8,29
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 25152+252−152)=33°33′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 25152+252−152)=33°33′26" γ=180°−α−β=180°−33°33′26"−33°33′26"=112°53′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27,5103,64=3,77
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,769⋅ 27,515⋅ 15⋅ 25=13,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 252−152=19,203 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 152−152=19,203 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 152−252=8,292
Vypočítať ďaľší trojuholník