Trojuholník 15 16 17

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 16 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 109,98218166789
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 53,96881209275° = 53°58'5″ = 0,94219214013 rad
Uhol ∠ B = β = 59,61100575507° = 59°36'36″ = 1,04403917716 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,66442422239
Výška trojuholníka: v_b = 13,74877270849
Výška trojuholníka: v_c = 12,93990372563

Ťažnica: t_a = 14,70554411699
Ťažnica: t_b = 13,89224439894
Ťažnica: t_c = 12,97111217711

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,5832575695
Polomer opísanej kružnice: R = 9,2744260335

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,58882352941; 12,93990372563]
Ťažisko: T[8,19660784314; 4,31330124188]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 3,7109704134]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,5832575695]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,03218790725° = 126°1'55″ = 0,94219214013 rad
∠ B' = β' = 120,39899424493° = 120°23'24″ = 1,04403917716 rad
∠ C' = γ' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 16 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 16 + 17 = 48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 15) (24 - 16) (24 - 17) S = 12096 = 109, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 9 8}{1 5} = 14, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 9 8}{1 6} = 13, 75 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 9 8}{1 7} = 12, 94

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 7}) = 53 ° 5 8^{'} 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 59 ° 3 6^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 5 8^{'} 5 " - 59 ° 3 6^{'} 36 " = 66 ° 2 5^{'} 19 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 9 , 9 8}{2 4} = 4, 58

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 6 \cdot 1 7}{4 \cdot 4 , 5 8 3 \cdot 2 4} = 9, 27

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 14, 705 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 892 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 971

Vypočítať ďaľší trojuholník