Trojuholník 15 16 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 15 b = 16 c = 25Obsah trojuholníka: S = 114,473270417
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Uhol ∠ A = α = 34,91552062474° = 34°54'55″ = 0,6099385308 rad
Uhol ∠ B = β = 37,62771906288° = 37°37'38″ = 0,65767183647 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,87554889808 rad
Výška trojuholníka: va = 15,26330272227
Výška trojuholníka: vb = 14,30990880213
Výška trojuholníka: vc = 9,15878163336
Ťažnica: ta = 19,60222957839
Ťažnica: tb = 19
Ťažnica: tc = 9,17987798753
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,08883108632
Polomer opísanej kružnice: R = 13,1043560459
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[11,88; 9,15878163336]
Ťažisko: T[12,29333333333; 3,05326054445]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -3,93110681377]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 4,08883108632]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,08547937526° = 145°5'5″ = 0,6099385308 rad
∠ B' = β' = 142,37328093712° = 142°22'22″ = 0,65767183647 rad
∠ C' = γ' = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,87554889808 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=16 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+16+25=56
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−15)(28−16)(28−25) S=13104=114,47
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 114,47=15,26 vb=b2 S=162⋅ 114,47=14,31 vc=c2 S=252⋅ 114,47=9,16
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 25162+252−152)=34°54′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 25152+252−162)=37°37′38" γ=180°−α−β=180°−34°54′55"−37°37′38"=107°27′27"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=28114,47=4,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,088⋅ 2815⋅ 16⋅ 25=13,1
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 252−152=19,602 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 152−162=19 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 162−252=9,179
Vypočítať ďaľší trojuholník