Trojuholník 15 17 19

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 17 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 121,62772481807
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Uhol ∠ A = α = 48,86604895851° = 48°51'38″ = 0,85327764174 rad
Uhol ∠ B = β = 58,59771135386° = 58°35'50″ = 1,02327125634 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,21769664241
Výška trojuholníka: v_b = 14,30990880213
Výška trojuholníka: v_c = 12,80328682295

Ťažnica: t_a = 16,39435963108
Ťažnica: t_b = 14,85876579581
Ťažnica: t_c = 12,91331715701

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,77696960071
Polomer opísanej kružnice: R = 9,95987059489

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[7,81657894737; 12,80328682295]
Ťažisko: T[8,93985964912; 4,26876227432]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 2,98876117847]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,77696960071]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,14395104149° = 131°8'22″ = 0,85327764174 rad
∠ B' = β' = 121,40328864614° = 121°24'10″ = 1,02327125634 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 17 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 17 + 19 = 51

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 15) (25, 5 - 17) (25, 5 - 19) S = 14793, 19 = 121, 63

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 1 , 6 3}{1 5} = 16, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 1 , 6 3}{1 7} = 14, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 1 , 6 3}{1 9} = 12, 8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 9}) = 48 ° 5 1^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 9}) = 58 ° 3 5^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 5 1^{'} 38 " - 58 ° 3 5^{'} 50 " = 72 ° 3 2^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 1 , 6 3}{2 5 , 5} = 4, 77

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 7 \cdot 1 9}{4 \cdot 4 , 7 7 \cdot 2 5 , 5} = 9, 96

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 16, 394 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 14, 858 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 12, 913

Vypočítať ďaľší trojuholník