Trojuholník 15 17 21




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15   b = 17   c = 21

Obsah trojuholníka: S = 126,18771130504
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 44,98657265175° = 44°59'9″ = 0,78551490441 rad
Uhol ∠ B = β = 53,24437000714° = 53°14'37″ = 0,92992778722 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,77105734111° = 81°46'14″ = 1,42771657373 rad

Výška trojuholníka: va = 16,82549484067
Výška trojuholníka: vb = 14,84655427118
Výška trojuholníka: vc = 12,01878202905

Ťažnica: ta = 17,57112833908
Ťažnica: tb = 16,1487755262
Ťažnica: tc = 12,11440414396

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,7621777851
Polomer opísanej kružnice: R = 10,60992450143

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[8,97661904762; 12,01878202905]
Ťažisko: T[9,99220634921; 4,00659400968]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 1,51985782079]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,7621777851]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,01442734825° = 135°51″ = 0,78551490441 rad
∠ B' = β' = 126,75662999286° = 126°45'23″ = 0,92992778722 rad
∠ C' = γ' = 98,22994265889° = 98°13'46″ = 1,42771657373 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=17 c=21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=15+17+21=53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=253=26,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=26,5(26,515)(26,517)(26,521) S=15923,19=126,19

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=152 126,19=16,82 vb=b2 S=172 126,19=14,85 vc=c2 S=212 126,19=12,02

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 17 21172+212152)=44°599"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 15 21152+212172)=53°1437" γ=180°αβ=180°44°599"53°1437"=81°4614"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=26,5126,19=4,76

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 4,762 26,515 17 21=10,61

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 172+2 212152=17,571 tb=22c2+2a2b2=22 212+2 152172=16,148 tc=22a2+2b2c2=22 152+2 172212=12,114

Vypočítať ďaľší trojuholník