Trojuholník 15 17 21
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 15 b = 17 c = 21Obsah trojuholníka: S = 126,18771130504
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Uhol ∠ A = α = 44,98657265175° = 44°59'9″ = 0,78551490441 rad
Uhol ∠ B = β = 53,24437000714° = 53°14'37″ = 0,92992778722 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,77105734111° = 81°46'14″ = 1,42771657373 rad
Výška trojuholníka: va = 16,82549484067
Výška trojuholníka: vb = 14,84655427118
Výška trojuholníka: vc = 12,01878202905
Ťažnica: ta = 17,57112833908
Ťažnica: tb = 16,1487755262
Ťažnica: tc = 12,11440414396
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,7621777851
Polomer opísanej kružnice: R = 10,60992450143
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[8,97661904762; 12,01878202905]
Ťažisko: T[9,99220634921; 4,00659400968]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 1,51985782079]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,7621777851]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,01442734825° = 135°51″ = 0,78551490441 rad
∠ B' = β' = 126,75662999286° = 126°45'23″ = 0,92992778722 rad
∠ C' = γ' = 98,22994265889° = 98°13'46″ = 1,42771657373 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=17 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+17+21=53
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−15)(26,5−17)(26,5−21) S=15923,19=126,19
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 126,19=16,82 vb=b2 S=172⋅ 126,19=14,85 vc=c2 S=212⋅ 126,19=12,02
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 21172+212−152)=44°59′9" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 21152+212−172)=53°14′37" γ=180°−α−β=180°−44°59′9"−53°14′37"=81°46′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=26,5126,19=4,76
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,762⋅ 26,515⋅ 17⋅ 21=10,61
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 212−152=17,571 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 152−172=16,148 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 172−212=12,114
Vypočítať ďaľší trojuholník