Trojuholník 15 17 22

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 17 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 127,27992206136
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Uhol ∠ A = α = 42,89334830421° = 42°53'37″ = 0,74986325067 rad
Uhol ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,51219388208 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,97105627485
Výška trojuholníka: v_b = 14,97440259545
Výška trojuholníka: v_c = 11,57108382376

Ťažnica: t_a = 18,17327818454
Ťažnica: t_b = 16.88002976164
Ťažnica: t_c = 11,66219037897

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,71440452079
Polomer opísanej kružnice: R = 11,01990806735

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,54554545455; 11,57108382376]
Ťažisko: T[10,51551515152; 3,85769460792]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 0,64881812161]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 4,71440452079]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,10765169579° = 137°6'23″ = 0,74986325067 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,51219388208 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 17 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 17 + 22 = 54

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 15) (27 - 17) (27 - 22) S = 16200 = 127, 28

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 2 8}{1 5} = 16, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 2 8}{1 7} = 14, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 2 8}{2 2} = 11, 57

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 2}) = 42 ° 5 3^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 2}) = 50 ° 2 8^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 5 3^{'} 37 " - 50 ° 2 8^{'} 44 " = 86 ° 3 7^{'} 40 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 7 , 2 8}{2 7} = 4, 71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 7 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 7 1 4 \cdot 2 7} = 11, 02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 18, 173 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 16, 8 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 11, 662

Vypočítať ďaľší trojuholník