Trojuholník 15 17 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 17 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 124,44435112812
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 35,84765565311° = 35°50'48″ = 0,6265640437 rad
Uhol ∠ B = β = 41,58325725446° = 41°34'57″ = 0,72657528024 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,57108709243° = 102°34'15″ = 1,79901994143 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,59224681708
Výška trojuholníka: v_b = 14,64404130919
Výška trojuholníka: v_c = 9,95554809025

Ťažnica: t_a = 20,01987412192
Ťažnica: t_b = 18,7821639971
Ťažnica: t_c = 10,03774299499

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,36664389923
Polomer opísanej kružnice: R = 12,8077015678

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[11,22; 9,95554809025]
Ťažisko: T[12,07333333333; 3,31884936342]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -2,78774092946]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 4,36664389923]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,15334434689° = 144°9'12″ = 0,6265640437 rad
∠ B' = β' = 138,41774274554° = 138°25'3″ = 0,72657528024 rad
∠ C' = γ' = 77,42991290757° = 77°25'45″ = 1,79901994143 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 17 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 17 + 25 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 15) (28, 5 - 17) (28, 5 - 25) S = 15486, 19 = 124, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 4 , 4 4}{1 5} = 16, 59 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 4 , 4 4}{1 7} = 14, 64 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 4 , 4 4}{2 5} = 9, 96

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 5}) = 35 ° 5 0^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 5}) = 41 ° 3 4^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5 0^{'} 48 " - 41 ° 3 4^{'} 57 " = 102 ° 3 4^{'} 15 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 4 , 4 4}{2 8 , 5} = 4, 37

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 7 \cdot 2 5}{4 \cdot 4 , 3 6 6 \cdot 2 8 , 5} = 12, 81

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 20, 019 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 18, 782 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 10, 037

Vypočítať ďaľší trojuholník