Trojuholník 15 18 20

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 18 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 129,7599151893
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 46,1287528069° = 46°7'39″ = 0,80550772406 rad
Uhol ∠ B = β = 59,89896728258° = 59°53'23″ = 1,04552719788 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,98327991052° = 73°58'58″ = 1,29112434342 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,30112202524
Výška trojuholníka: v_b = 14,41876835437
Výška trojuholníka: v_c = 12,97659151893

Ťažnica: t_a = 17,486570845
Ťažnica: t_b = 15,21551240547
Ťažnica: t_c = 13,21098448136

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,89765717695
Polomer opísanej kružnice: R = 10,40438904409

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[7,525; 12,97659151893]
Ťažisko: T[9,175; 4,32553050631]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 2,87107031031]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,89765717695]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,8722471931° = 133°52'21″ = 0,80550772406 rad
∠ B' = β' = 120,11103271743° = 120°6'37″ = 1,04552719788 rad
∠ C' = γ' = 106,01772008948° = 106°1'2″ = 1,29112434342 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 18 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 18 + 20 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 15) (26, 5 - 18) (26, 5 - 20) S = 16837, 44 = 129, 76

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 7 6}{1 5} = 17, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 7 6}{1 8} = 14, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 7 6}{2 0} = 12, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}) = 46 ° 7^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}) = 59 ° 5 3^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 7^{'} 39 " - 59 ° 5 3^{'} 23 " = 73 ° 5 8^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 9 , 7 6}{2 6 , 5} = 4, 9

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 8 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 8 9 7 \cdot 2 6 , 5} = 10, 4

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 17, 486 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 215 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 21

Vypočítať ďaľší trojuholník