Trojuholník 15 18 21

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 18 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 132,27224461103
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Uhol ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,6366326148
Výška trojuholníka: v_b = 14,69769384567
Výška trojuholníka: v_c = 12,597737582

Ťažnica: t_a = 18,06223918682
Ťažnica: t_b = 15,87545078664
Ťažnica: t_c = 12,8166005618

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,89989794856
Polomer opísanej kružnice: R = 10,71765176247

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[8,14328571429; 12,597737582]
Ťažisko: T[9,71442857143; 4,19991252733]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 2,14333035249]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 4,89989794856]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 18 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 18 + 21 = 54

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 15) (27 - 18) (27 - 21) S = 17496 = 132, 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 2 7}{1 5} = 17, 64 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 2 7}{1 8} = 14, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 2 7}{2 1} = 12, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 1}) = 44 ° 2 4^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 1}) = 57 ° 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 4^{'} 55 " - 57 ° 7^{'} 18 " = 78 ° 2 7^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 2 , 2 7}{2 7} = 4, 9

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 8 \cdot 2 1}{4 \cdot 4 , 8 9 9 \cdot 2 7} = 10, 72

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 18, 062 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 875 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 12, 816

Vypočítať ďaľší trojuholník