Trojuholník 15 19 23

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 19 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 141,78657097877
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 40,45990830808° = 40°27'33″ = 0,70661442121 rad
Uhol ∠ B = β = 55,28800873965° = 55°16'48″ = 0,96548195359 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,9054761305
Výška trojuholníka: v_b = 14,92548115566
Výška trojuholníka: v_c = 12,32991921555

Ťažnica: t_a = 19,71767441531
Ťažnica: t_b = 16,93436942219
Ťažnica: t_c = 12,67987223331

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,97549371855
Polomer opísanej kružnice: R = 11,55879348755

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[8,54334782609; 12,32991921555]
Ťažisko: T[10,51444927536; 4,11097307185]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 1,15657934875]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,97549371855]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,54109169192° = 139°32'27″ = 0,70661442121 rad
∠ B' = β' = 124,72199126035° = 124°43'12″ = 0,96548195359 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 19 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 19 + 23 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 15) (28, 5 - 19) (28, 5 - 23) S = 20103, 19 = 141, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 1 , 7 9}{1 5} = 18, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 1 , 7 9}{1 9} = 14, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 1 , 7 9}{2 3} = 12, 33

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 3}) = 40 ° 2 7^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 3}) = 55 ° 1 6^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 2 7^{'} 33 " - 55 ° 1 6^{'} 48 " = 84 ° 1 5^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 1 , 7 9}{2 8 , 5} = 4, 97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 9 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 9 7 5 \cdot 2 8 , 5} = 11, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 19, 717 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 16, 934 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 12, 679

Vypočítať ďaľší trojuholník