Trojuholník SSU
Trojuholník má dve riešenia, strana c=179.91223286669 a c=85.09114448912
#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 153 b = 90 c = 179,91223286669Obsah trojuholníka: S = 6881,64765715073
Obvod trojuholníka: o = 422,91223286669
Semiperimeter (poloobvod): s = 211,45661643334
Uhol ∠ A = α = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 1,01659852938 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78883306171° = 91°47'18″ = 1,60220085842 rad
Výška trojuholníka: va = 89,95661643334
Výška trojuholníka: vb = 152,92554793668
Výška trojuholníka: vc = 76,5
Ťažnica: ta = 119,92548639906
Ťažnica: tb = 160,82220227555
Ťažnica: tc = 87,53550701057
Polomer vpísanej kružnice: r = 32,54440811489
Polomer opísanej kružnice: R = 90
Súradnice vrcholov: A[179,91223286669; 0] B[0; 0] C[132,5021886779; 76,5]
Ťažisko: T[104,13880718153; 25,5]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[89,95661643334; -2,80986470795]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[121,45661643334; 32,54440811489]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 1,01659852938 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 88,21216693829° = 88°12'42″ = 1,60220085842 rad
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Kosínusová veta
a=153 b=90 β=30° b2=a2+c2−2accosβ 902=1532+c2−2⋅ 153⋅ c⋅ cos30° c2−265,004c+15309=0 p=1;q=−265,004;r=15309 D=q2−4pr=265,0042−4⋅1⋅15309=8991 D>0 c1,2=2p−q±D=2265±8991=2265±9111 c1,2=132,501887±47,410442 c1=179,912328667 c2=85,091444891 c>0 c=179,91
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=153 b=90 c=179,91
2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
3. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2422,91=211,46
4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 179,91902+179,912−1532)=58°12′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 153⋅ 179,911532+179,912−902)=30° γ=180°−α−β=180°−58°12′42"−30°=91°47′18"
7. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.8. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 32,544⋅ 211,456153⋅ 90⋅ 179,91=90
9. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 153 b = 90 c = 85,09114448912Obsah trojuholníka: S = 3254,74877670877
Obvod trojuholníka: o = 328,09114448912
Semiperimeter (poloobvod): s = 164,04657224456
Uhol ∠ A = α = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 2,12656073598 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 28,21216693829° = 28°12'42″ = 0,49223865182 rad
Výška trojuholníka: va = 42,54657224456
Výška trojuholníka: vb = 72,32877281575
Výška trojuholníka: vc = 76,5
Ťažnica: ta = 42,63883277913
Ťažnica: tb = 115,32546591013
Ťažnica: tc = 118,08662460305
Polomer vpísanej kružnice: r = 19,84404915323
Polomer opísanej kružnice: R = 90
Súradnice vrcholov: A[85,09114448912; 0] B[0; 0] C[132,5021886779; 76,5]
Ťažisko: T[72,53111105567; 25,5]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[42,54657224456; 79,30986470795]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[74,04657224456; 19,84404915323]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 2,12656073598 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 151,78883306171° = 151°47'18″ = 0,49223865182 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Kosínusová veta
a=153 b=90 β=30° b2=a2+c2−2accosβ 902=1532+c2−2⋅ 153⋅ c⋅ cos30° c2−265,004c+15309=0 p=1;q=−265,004;r=15309 D=q2−4pr=265,0042−4⋅1⋅15309=8991 D>0 c1,2=2p−q±D=2265±8991=2265±9111 c1,2=132,501887±47,410442 c1=179,912328667 c2=85,091444891 c>0 c=179,91
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=153 b=90 c=85,09
2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
3. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 85,09902+85,092−1532)=121°47′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 153⋅ 85,091532+85,092−902)=30° γ=180°−α−β=180°−121°47′18"−30°=28°12′42"
7. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.8. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 19,84⋅ 164,046153⋅ 90⋅ 85,09=90
9. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.Vypočítať ďaľší trojuholník