Trojuholník 158 185 201

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 158 b = 185 c = 201

Obsah trojuholníka: S = 13839,6688204115
Obvod trojuholníka: o = 544
Semiperimeter (poloobvod): s = 272

Uhol ∠ A = α = 48,10548720485° = 48°6'18″ = 0,84395884035 rad
Uhol ∠ B = β = 60,64216595114° = 60°38'30″ = 1,05883966223 rad
Uhol ∠ C = γ = 71,25334684402° = 71°15'12″ = 1,24436076277 rad

Výška trojuholníka: v_a = 175,18656734698
Výška trojuholníka: v_b = 149,61880346391
Výška trojuholníka: v_c = 137,70881413345

Ťažnica: t_a = 176,27325162922
Ťažnica: t_b = 155,32662695103
Ťažnica: t_c = 139,62218106171

Polomer vpísanej kružnice: r = 50,88111331034
Polomer opísanej kružnice: R = 106,13302538715

Súradnice vrcholov: A[201; 0] B[0; 0] C[77,46326865672; 137,70881413345]
Ťažisko: T[92,82108955224; 45,90327137782]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[100,5; 34,10883682815]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[87; 50,88111331034]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,89551279515° = 131°53'42″ = 0,84395884035 rad
∠ B' = β' = 119,35883404886° = 119°21'30″ = 1,05883966223 rad
∠ C' = γ' = 108,74765315598° = 108°44'48″ = 1,24436076277 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 158 b = 185 c = 201

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 158 + 185 + 201 = 544

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4 4}{2} = 272

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 272 (272 - 158) (272 - 185) (272 - 201) S = 191536416 = 13839, 67

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 8 3 9 , 6 7}{1 5 8} = 175, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 8 3 9 , 6 7}{1 8 5} = 149, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 8 3 9 , 6 7}{2 0 1} = 137, 71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 5 ^{2} + 2 0 1 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2 \cdot 1 8 5 \cdot 2 0 1}) = 48 ° 6^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 8 ^{2} + 2 0 1 ^{2} - 1 8 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 8 \cdot 2 0 1}) = 60 ° 3 8^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 6^{'} 18 " - 60 ° 3 8^{'} 30 " = 71 ° 1 5^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 8 3 9 , 6 7}{2 7 2} = 50, 88

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 8 \cdot 1 8 5 \cdot 2 0 1}{4 \cdot 5 0 , 8 8 1 \cdot 2 7 2} = 106, 13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 1 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2} = 176, 273 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 8 ^{2} - 1 8 5 ^{2}}{2} = 155, 326 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 8 ^{2} + 2 \cdot 1 8 5 ^{2} - 2 0 1 ^{2}}{2} = 139, 622

Vypočítať ďaľší trojuholník