Trojuholník 16 16 17

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 16 b = 16 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 115,22112545497
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Uhol ∠ B = β = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,18799025126° = 64°10'48″ = 1,12201506125 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,40326568187
Výška trojuholníka: v_b = 14,40326568187
Výška trojuholníka: v_c = 13,55554417117

Ťažnica: t_a = 14,44395290782
Ťažnica: t_b = 14,44395290782
Ťažnica: t_c = 13,55554417117

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,7032908349
Polomer opísanej kružnice: R = 9,44327022536

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[8,5; 13,55554417117]
Ťažisko: T[8,5; 4,51884805706]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 4,11327394581]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,7032908349]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ B' = β' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ C' = γ' = 115,82200974874° = 115°49'12″ = 1,12201506125 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 16 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 16 + 17 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 16) (24, 5 - 16) (24, 5 - 17) S = 13275, 94 = 115, 22

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 2 2}{1 6} = 14, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 2 2}{1 6} = 14, 4 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 2 2}{1 7} = 13, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 7}) = 57 ° 5 4^{'} 36 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 7}) = 57 ° 5 4^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 57 ° 5 4^{'} 36 " - 57 ° 5 4^{'} 36 " = 64 ° 1 0^{'} 48 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 5 , 2 2}{2 4 , 5} = 4, 7

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 1 6 \cdot 1 7}{4 \cdot 4 , 7 0 3 \cdot 2 4 , 5} = 9, 44

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14, 44 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14, 44 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 13, 555

Vypočítať ďaľší trojuholník