Trojuholník 16 17 20

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 16 b = 17 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 131,08798897619
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 50,44990073704° = 50°26'56″ = 0,8810501283 rad
Uhol ∠ B = β = 55,01097173583° = 55°35″ = 0,96601006885 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,54112752713° = 74°32'29″ = 1,30109906821 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,38549862202
Výška trojuholníka: v_b = 15,42111635014
Výška trojuholníka: v_c = 13,10879889762

Ťažnica: t_a = 16,74881342244
Ťažnica: t_b = 15,99221855917
Ťažnica: t_c = 13,13439255366

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,94664109344
Polomer opísanej kružnice: R = 10,37553520275

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[9,175; 13,10879889762]
Ťažisko: T[9,725; 4,36993296587]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 2,76554890514]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,94664109344]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,55109926296° = 129°33'4″ = 0,8810501283 rad
∠ B' = β' = 124,99902826417° = 124°59'25″ = 0,96601006885 rad
∠ C' = γ' = 105,45987247287° = 105°27'31″ = 1,30109906821 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 17 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 17 + 20 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 16) (26, 5 - 17) (26, 5 - 20) S = 17181, 94 = 131, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 0 8}{1 6} = 16, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 0 8}{1 7} = 15, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 0 8}{2 0} = 13, 11

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 50 ° 2 6^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 55 ° 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 2 6^{'} 56 " - 55 ° 35 " = 74 ° 3 2^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 1 , 0 8}{2 6 , 5} = 4, 95

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 9 4 6 \cdot 2 6 , 5} = 10, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 748 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 15, 992 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 134

Vypočítať ďaľší trojuholník