Trojuholník 16 21 27
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 16 b = 21 c = 27Obsah trojuholníka: S = 167,80994157072
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Uhol ∠ A = α = 36,29333999285° = 36°17'36″ = 0,63334393255 rad
Uhol ∠ B = β = 50,97771974348° = 50°58'38″ = 0,89897199387 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,72994026368° = 92°43'46″ = 1,61884333894 rad
Výška trojuholníka: va = 20,97661769634
Výška trojuholníka: vb = 15,9821849115
Výška trojuholníka: vc = 12,43303270894
Ťažnica: ta = 22,8255424421
Ťažnica: tb = 19,5511214796
Ťažnica: tc = 12,89437969582
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,24440442409
Polomer opísanej kružnice: R = 13,51553322026
Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[10,07440740741; 12,43303270894]
Ťažisko: T[12,35880246914; 4,14334423631]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -0,64435872477]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 5,24440442409]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,70766000716° = 143°42'24″ = 0,63334393255 rad
∠ B' = β' = 129,02328025652° = 129°1'22″ = 0,89897199387 rad
∠ C' = γ' = 87,27105973632° = 87°16'14″ = 1,61884333894 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=16 b=21 c=27
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=16+21+27=64
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−16)(32−21)(32−27) S=28160=167,81
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 167,81=20,98 vb=b2 S=212⋅ 167,81=15,98 vc=c2 S=272⋅ 167,81=12,43
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 27212+272−162)=36°17′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 27162+272−212)=50°58′38" γ=180°−α−β=180°−36°17′36"−50°58′38"=92°43′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32167,81=5,24
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,244⋅ 3216⋅ 21⋅ 27=13,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 272−162=22,825 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 162−212=19,551 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 212−272=12,894
Vypočítať ďaľší trojuholník