Trojuholník 16 23 28

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 16 b = 23 c = 28

Obsah trojuholníka: S = 1843,999830163
Obvod trojuholníka: o = 67
Semiperimeter (poloobvod): s = 33,5

Uhol ∠ A = α = 34,85498677543° = 34°51' = 0,60882449362 rad
Uhol ∠ B = β = 55,22879797962° = 55°13'41″ = 0,96439100867 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,92221524495° = 89°55'20″ = 1,56994376307 rad

Výška trojuholníka: v_a = 232,9999787704
Výška trojuholníka: v_b = 165,9999852316
Výška trojuholníka: v_c = 13,14328450116

Ťažnica: t_a = 24,34113228893
Ťažnica: t_b = 19,69113686675
Ťažnica: t_c = 14,01878457689

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,49325322437
Polomer opísanej kružnice: R = 144,0000129224

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[9,125; 13,14328450116]
Ťažisko: T[12,375; 4,38109483372]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; 0,01990217567]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 5,49325322437]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,15501322457° = 145°9' = 0,60882449362 rad
∠ B' = β' = 124,77220202038° = 124°46'19″ = 0,96439100867 rad
∠ C' = γ' = 90,07878475505° = 90°4'40″ = 1,56994376307 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 23 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 23 + 28 = 67

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 7}{2} = 33, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33, 5 (33, 5 - 16) (33, 5 - 23) (33, 5 - 28) S = 33855, 94 = 184

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 4}{1 6} = 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 4}{2 3} = 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 4}{2 8} = 13, 14

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 8}) = 34 ° 5 1^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 8}) = 55 ° 1 3^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 5 1^{'} - 55 ° 1 3^{'} 41 " = 89 ° 5 5^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 4}{3 3 , 5} = 5, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 2 3 \cdot 2 8}{4 \cdot 5 , 4 9 3 \cdot 3 3 , 5} = 14

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 24, 341 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 19, 691 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 14, 018

Vypočítať ďaľší trojuholník