Trojuholník 16 24 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 16 b = 24 c = 30Obsah trojuholníka: S = 191,24659149891
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35
Uhol ∠ A = α = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Uhol ∠ B = β = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 0,92220766485 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,08797157927° = 95°4'47″ = 1,65994540924 rad
Výška trojuholníka: va = 23,90657393736
Výška trojuholníka: vb = 15,93771595824
Výška trojuholníka: vc = 12,75497276659
Ťažnica: ta = 25,96215099715
Ťažnica: tb = 20,8332666656
Ťažnica: tc = 13,82202749611
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,46441689997
Polomer opísanej kružnice: R = 15,05991451857
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[9,66766666667; 12,75497276659]
Ťažisko: T[13,22222222222; 4,2549909222]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -1,33333618133]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 5,46441689997]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
∠ B' = β' = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 0,92220766485 rad
∠ C' = γ' = 84,92202842073° = 84°55'13″ = 1,65994540924 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=16 b=24 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=16+24+30=70
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=270=35
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35(35−16)(35−24)(35−30) S=36575=191,25
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 191,25=23,91 vb=b2 S=242⋅ 191,25=15,94 vc=c2 S=302⋅ 191,25=12,75
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 30242+302−162)=32°5′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 30162+302−242)=52°49′52" γ=180°−α−β=180°−32°5′21"−52°49′52"=95°4′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35191,25=5,46
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,464⋅ 3516⋅ 24⋅ 30=15,06
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 302−162=25,962 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 162−242=20,833 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 242−302=13,82
Vypočítať ďaľší trojuholník