Trojuholník 16 25 29

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 16 b = 25 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 199,75498435544
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Uhol ∠ A = α = 33,43879821579° = 33°26'17″ = 0,58436028839 rad
Uhol ∠ B = β = 59,42880018247° = 59°25'41″ = 1,03772142997 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad

Výška trojuholníka: v_a = 24,96987304443
Výška trojuholníka: v_b = 15,98799874844
Výška trojuholníka: v_c = 13,77658512796

Ťažnica: t_a = 25,86550343128
Ťažnica: t_b = 19,80553023203
Ťažnica: t_c = 15,17439909055

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,70771383873
Polomer opísanej kružnice: R = 14,51881590553

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[8,13879310345; 13,77658512796]
Ťažisko: T[12,37993103448; 4,59219504265]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 0,72659079528]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 5,70771383873]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,56220178421° = 146°33'43″ = 0,58436028839 rad
∠ B' = β' = 120,57219981753° = 120°34'19″ = 1,03772142997 rad
∠ C' = γ' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 25 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 25 + 29 = 70

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0}{2} = 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35 (35 - 16) (35 - 25) (35 - 29) S = 39900 = 199, 75

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 7 5}{1 6} = 24, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 7 5}{2 5} = 15, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 7 5}{2 9} = 13, 78

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 2 9}) = 33 ° 2 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 9}) = 59 ° 2 5^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 2 6^{'} 17 " - 59 ° 2 5^{'} 41 " = 87 ° 8^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 9 , 7 5}{3 5} = 5, 71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 2 5 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 7 0 7 \cdot 3 5} = 14, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 25, 865 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 19, 805 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 15, 174

Vypočítať ďaľší trojuholník