Trojuholník 16 25 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 16 b = 25 c = 30Obsah trojuholníka: S = 199,94435857936
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5
Uhol ∠ A = α = 32,22107635824° = 32°13'15″ = 0,5622358412 rad
Uhol ∠ B = β = 56,41883336947° = 56°25'6″ = 0,98546856815 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,36109027229° = 91°21'39″ = 1,59545485601 rad
Výška trojuholníka: va = 24,99329482242
Výška trojuholníka: vb = 15,99554868635
Výška trojuholníka: vc = 13,33295723862
Ťažnica: ta = 26,42991505728
Ťažnica: tb = 20,53765527779
Ťažnica: tc = 14,68799182559
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,63222136843
Polomer opísanej kružnice: R = 15,00442322593
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[8,85; 13,33295723862]
Ťažisko: T[12,95; 4,44331907954]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -0,35663505162]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 5,63222136843]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,77992364176° = 147°46'45″ = 0,5622358412 rad
∠ B' = β' = 123,58216663053° = 123°34'54″ = 0,98546856815 rad
∠ C' = γ' = 88,63990972771° = 88°38'21″ = 1,59545485601 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=16 b=25 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=16+25+30=71
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=271=35,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35,5(35,5−16)(35,5−25)(35,5−30) S=39977,44=199,94
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 199,94=24,99 vb=b2 S=252⋅ 199,94=16 vc=c2 S=302⋅ 199,94=13,33
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−162)=32°13′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 30162+302−252)=56°25′6" γ=180°−α−β=180°−32°13′15"−56°25′6"=91°21′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35,5199,94=5,63
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,632⋅ 35,516⋅ 25⋅ 30=15
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 302−162=26,429 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 162−252=20,537 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 252−302=14,68
Vypočítať ďaľší trojuholník