Trojuholník 17 17 20
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 17 b = 17 c = 20Obsah trojuholníka: S = 137,47772708487
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 53,96881209275° = 53°58'5″ = 0,94219214013 rad
Uhol ∠ B = β = 53,96881209275° = 53°58'5″ = 0,94219214013 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,06437581449° = 72°3'50″ = 1,2587749851 rad
Výška trojuholníka: va = 16,17437965704
Výška trojuholníka: vb = 16,17437965704
Výška trojuholníka: vc = 13,74877270849
Ťažnica: ta = 16,5
Ťažnica: tb = 16,5
Ťažnica: tc = 13,74877270849
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,09217507722
Polomer opísanej kružnice: R = 10,51108283797
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 13,74877270849]
Ťažisko: T[10; 4,5832575695]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 3,23768987052]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 5,09217507722]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,03218790725° = 126°1'55″ = 0,94219214013 rad
∠ B' = β' = 126,03218790725° = 126°1'55″ = 0,94219214013 rad
∠ C' = γ' = 107,93662418551° = 107°56'10″ = 1,2587749851 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=17 b=17 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=17+17+20=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−17)(27−17)(27−20) S=18900=137,48
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 137,48=16,17 vb=b2 S=172⋅ 137,48=16,17 vc=c2 S=202⋅ 137,48=13,75
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−172)=53°58′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−172)=53°58′5" γ=180°−α−β=180°−53°58′5"−53°58′5"=72°3′50"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27137,48=5,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,092⋅ 2717⋅ 17⋅ 20=10,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 202−172=16,5 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 172−172=16,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 172−202=13,748
Vypočítať ďaľší trojuholník