Trojuholník 17 17 30
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 17 b = 17 c = 30Obsah trojuholníka: S = 120
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Uhol ∠ A = α = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Uhol ∠ B = β = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Uhol ∠ C = γ = 123,85550261283° = 123°51'18″ = 2,16216780011 rad
Výška trojuholníka: va = 14,11876470588
Výška trojuholníka: vb = 14,11876470588
Výška trojuholníka: vc = 8
Ťažnica: ta = 22,85327897641
Ťažnica: tb = 22,85327897641
Ťažnica: tc = 8
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,75
Polomer opísanej kružnice: R = 18,06325
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 8]
Ťažisko: T[15; 2,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -10,06325]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[15; 3,75]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ B' = β' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ C' = γ' = 56,14549738717° = 56°8'42″ = 2,16216780011 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=17 b=17 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=17+17+30=64
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−17)(32−17)(32−30) S=14400=120
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 120=14,12 vb=b2 S=172⋅ 120=14,12 vc=c2 S=302⋅ 120=8
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 30172+302−172)=28°4′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 30172+302−172)=28°4′21" γ=180°−α−β=180°−28°4′21"−28°4′21"=123°51′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32120=3,75
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,75⋅ 3217⋅ 17⋅ 30=18,06
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 302−172=22,853 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 172−172=22,853 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 172−302=8
Vypočítať ďaľší trojuholník