Trojuholník 17 19 22

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 17 b = 19 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 156,0776904121
Obvod trojuholníka: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Uhol ∠ A = α = 48,31221683473° = 48°18'44″ = 0,84332064064 rad
Uhol ∠ B = β = 56,57879395233° = 56°34'41″ = 0,98774713287 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,11098921294° = 75°6'36″ = 1,31109149185 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,36219887201
Výška trojuholníka: v_b = 16,42991478022
Výška trojuholníka: v_c = 14,18988094655

Ťažnica: t_a = 18,71549672722
Ťažnica: t_b = 17,21219144781
Ťažnica: t_c = 14,28328568571

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,38219622111
Polomer opísanej kružnice: R = 11,38222093666

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,36436363636; 14,18988094655]
Ťažisko: T[10,45545454545; 4,73296031552]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 2,92548401778]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 5,38219622111]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,68878316527° = 131°41'16″ = 0,84332064064 rad
∠ B' = β' = 123,42220604767° = 123°25'19″ = 0,98774713287 rad
∠ C' = γ' = 104,89901078706° = 104°53'24″ = 1,31109149185 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17 b = 19 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17 + 19 + 22 = 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 17) (29 - 19) (29 - 22) S = 24360 = 156, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 6 , 0 8}{1 7} = 18, 36 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 6 , 0 8}{1 9} = 16, 43 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 6 , 0 8}{2 2} = 14, 19

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 2}) = 48 ° 1 8^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 2}) = 56 ° 3 4^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 1 8^{'} 44 " - 56 ° 3 4^{'} 41 " = 75 ° 6^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 6 , 0 8}{2 9} = 5, 38

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 2}{4 \cdot 5 , 3 8 2 \cdot 2 9} = 11, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 18, 715 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 17, 212 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 14, 283

Vypočítať ďaľší trojuholník