Trojuholník 17 20 27

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 17 b = 20 c = 27

Obsah trojuholníka: S = 169,70656274848
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Uhol ∠ A = α = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Uhol ∠ B = β = 47,68552720476° = 47°41'7″ = 0,83222650019 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,63296538327 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,96553679394
Výška trojuholníka: v_b = 16,97105627485
Výška trojuholníka: v_c = 12,57107872211

Ťažnica: t_a = 22,18767077323
Ťažnica: t_b = 20,22437484162
Ťažnica: t_c = 12,73877392029

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,30333008589
Polomer opísanej kružnice: R = 13,52334171902

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[11,44444444444; 12,57107872211]
Ťažisko: T[12,81548148148; 4,1990262407]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -0,79554951288]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 5,30333008589]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ B' = β' = 132,31547279524° = 132°18'53″ = 0,83222650019 rad
∠ C' = γ' = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,63296538327 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17 b = 20 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17 + 20 + 27 = 64

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 17) (32 - 20) (32 - 27) S = 28800 = 169, 71

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 9 , 7 1}{1 7} = 19, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 9 , 7 1}{2 0} = 16, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 9 , 7 1}{2 7} = 12, 57

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 7}) = 38 ° 5 6^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 7}) = 47 ° 4 1^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 5 6^{'} 33 " - 47 ° 4 1^{'} 7 " = 93 ° 2 2^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 9 , 7 1}{3 2} = 5, 3

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 2 0 \cdot 2 7}{4 \cdot 5 , 3 0 3 \cdot 3 2} = 13, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 22, 187 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 20, 224 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 12, 738

Vypočítať ďaľší trojuholník