Trojuholník 17 21 23

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 17 b = 21 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 171,28110190885
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 45,17329648542° = 45°10'23″ = 0,78884169696 rad
Uhol ∠ B = β = 61,17875376084° = 61°10'39″ = 1,06877494595 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,64994975375° = 73°38'58″ = 1,28554262245 rad

Výška trojuholníka: v_a = 20,15107081281
Výška trojuholníka: v_b = 16,31224780084
Výška trojuholníka: v_c = 14,89440016599

Ťažnica: t_a = 20,31662496539
Ťažnica: t_b = 17,28443860174
Ťažnica: t_c = 15,25661463024

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,61657711177
Polomer opísanej kružnice: R = 11,98546904866

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[8,19656521739; 14,89440016599]
Ťažisko: T[10,39985507246; 4,965466722]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 3,37438414395]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 5,61657711177]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,82770351458° = 134°49'37″ = 0,78884169696 rad
∠ B' = β' = 118,82224623917° = 118°49'21″ = 1,06877494595 rad
∠ C' = γ' = 106,35105024626° = 106°21'2″ = 1,28554262245 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17 b = 21 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17 + 21 + 23 = 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 17) (30, 5 - 21) (30, 5 - 23) S = 29337, 19 = 171, 28

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 1 , 2 8}{1 7} = 20, 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 1 , 2 8}{2 1} = 16, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 1 , 2 8}{2 3} = 14, 89

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 45 ° 1 0^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 3}) = 61 ° 1 0^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 1 0^{'} 23 " - 61 ° 1 0^{'} 39 " = 73 ° 3 8^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 1 , 2 8}{3 0 , 5} = 5, 62

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 5 , 6 1 6 \cdot 3 0 , 5} = 11, 98

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 20, 316 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 17, 284 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 15, 256

Vypočítať ďaľší trojuholník