Trojuholník 17 23 30




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 17   b = 23   c = 30

Obsah trojuholníka: S = 194,42222209522
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Uhol ∠ A = α = 34,30111527568° = 34°18'4″ = 0,59986680528 rad
Uhol ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,01990623132° = 96°1'9″ = 1,6765848782 rad

Výška trojuholníka: va = 22,8733202465
Výška trojuholníka: vb = 16,90662800828
Výška trojuholníka: vc = 12,96114813968

Ťažnica: ta = 25,34326517949
Ťažnica: tb = 21,5
Ťažnica: tc = 13,56546599663

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,55549205986
Polomer opísanej kružnice: R = 15,08331524588

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11; 12,96114813968]
Ťažisko: T[13,66766666667; 4,32204937989]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -1,58216093371]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 5,55549205986]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,69988472432° = 145°41'56″ = 0,59986680528 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 83,98109376868° = 83°58'51″ = 1,6765848782 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=17 b=23 c=30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=17+23+30=70

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=270=35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=35(3517)(3523)(3530) S=37800=194,42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=172 194,42=22,87 vb=b2 S=232 194,42=16,91 vc=c2 S=302 194,42=12,96

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 23 30232+302172)=34°184"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 17 30172+302232)=49°4047" γ=180°αβ=180°34°184"49°4047"=96°19"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=35194,42=5,55

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 5,555 3517 23 30=15,08

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 232+2 302172=25,343 tb=22c2+2a2b2=22 302+2 172232=21,5 tc=22a2+2b2c2=22 172+2 232302=13,565

Vypočítať ďaľší trojuholník