Trojuholník 17 23 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 17 b = 23 c = 30Obsah trojuholníka: S = 194,42222209522
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35
Uhol ∠ A = α = 34,30111527568° = 34°18'4″ = 0,59986680528 rad
Uhol ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,01990623132° = 96°1'9″ = 1,6765848782 rad
Výška trojuholníka: va = 22,8733202465
Výška trojuholníka: vb = 16,90662800828
Výška trojuholníka: vc = 12,96114813968
Ťažnica: ta = 25,34326517949
Ťažnica: tb = 21,5
Ťažnica: tc = 13,56546599663
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,55549205986
Polomer opísanej kružnice: R = 15,08331524588
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11; 12,96114813968]
Ťažisko: T[13,66766666667; 4,32204937989]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -1,58216093371]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 5,55549205986]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,69988472432° = 145°41'56″ = 0,59986680528 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 83,98109376868° = 83°58'51″ = 1,6765848782 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=17 b=23 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=17+23+30=70
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=270=35
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35(35−17)(35−23)(35−30) S=37800=194,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 194,42=22,87 vb=b2 S=232⋅ 194,42=16,91 vc=c2 S=302⋅ 194,42=12,96
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 30232+302−172)=34°18′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 30172+302−232)=49°40′47" γ=180°−α−β=180°−34°18′4"−49°40′47"=96°1′9"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35194,42=5,55
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,555⋅ 3517⋅ 23⋅ 30=15,08
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 302−172=25,343 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 172−232=21,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 232−302=13,565
Vypočítať ďaľší trojuholník