Trojuholník 18 20 20

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 18 b = 20 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 160,74551398954
Obvod trojuholníka: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Uhol ∠ A = α = 53,48773679008° = 53°29'15″ = 0,93435306781 rad
Uhol ∠ B = β = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad
Uhol ∠ C = γ = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,86105710995
Výška trojuholníka: v_b = 16,07545139895
Výška trojuholníka: v_c = 16,07545139895

Ťažnica: t_a = 17,86105710995
Ťažnica: t_b = 16,18664140562
Ťažnica: t_c = 16,18664140562

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,54329358585
Polomer opísanej kružnice: R = 11,19878502191

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[8,1; 16,07545139895]
Ťažisko: T[9,36766666667; 5,35881713298]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 5,03990325986]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 5,54329358585]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,51326320992° = 126°30'45″ = 0,93435306781 rad
∠ B' = β' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad
∠ C' = γ' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 20 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 20 + 20 = 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 18) (29 - 20) (29 - 20) S = 25839 = 160, 75

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 0 , 7 5}{1 8} = 17, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 0 , 7 5}{2 0} = 16, 07 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 0 , 7 5}{2 0} = 16, 07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}) = 53 ° 2 9^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}) = 63 ° 1 5^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 2 9^{'} 15 " - 63 ° 1 5^{'} 23 " = 63 ° 1 5^{'} 23 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 0 , 7 5}{2 9} = 5, 54

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 5 , 5 4 3 \cdot 2 9} = 11, 2

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 17, 861 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 16, 186 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 16, 186

Vypočítať ďaľší trojuholník