Trojuholník 18 20 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 18 b = 20 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 178,29903180209
Obvod trojuholníka: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5

Uhol ∠ A = α = 45,49327106983° = 45°29'34″ = 0,79439975873 rad
Uhol ∠ B = β = 52,41104970351° = 52°24'38″ = 0,91547357359 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,09767922665° = 82°5'48″ = 1,43328593304 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,81100353357
Výška trojuholníka: v_b = 17,82990318021
Výška trojuholníka: v_c = 14,26332254417

Ťažnica: t_a = 20,77325780778
Ťažnica: t_b = 19,35220024804
Ťažnica: t_c = 14,34439882878

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,66600100959
Polomer opísanej kružnice: R = 12,62198664346

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,98; 14,26332254417]
Ťažisko: T[11,99333333333; 4,75444084806]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 1,73552316348]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 5,66600100959]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,50772893017° = 134°30'26″ = 0,79439975873 rad
∠ B' = β' = 127,59895029649° = 127°35'22″ = 0,91547357359 rad
∠ C' = γ' = 97,90332077335° = 97°54'12″ = 1,43328593304 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 20 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 20 + 25 = 63

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 3}{2} = 31, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31, 5 (31, 5 - 18) (31, 5 - 20) (31, 5 - 25) S = 31787, 44 = 178, 29

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 8 , 2 9}{1 8} = 19, 81 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 8 , 2 9}{2 0} = 17, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 8 , 2 9}{2 5} = 14, 26

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 5}) = 45 ° 2 9^{'} 34 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 5}) = 52 ° 2 4^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 2 9^{'} 34 " - 52 ° 2 4^{'} 38 " = 82 ° 5^{'} 48 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 8 , 2 9}{3 1 , 5} = 5, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 0 \cdot 2 5}{4 \cdot 5 , 6 6 \cdot 3 1 , 5} = 12, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 20, 773 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 19, 352 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 14, 344

Vypočítať ďaľší trojuholník