Trojuholník 18 21 23

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 18 b = 21 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 179,55550054997
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Uhol ∠ A = α = 48,03303348284° = 48°1'49″ = 0,83882874836 rad
Uhol ∠ B = β = 60,16596772223° = 60°9'35″ = 1,05499844445 rad
Uhol ∠ C = γ = 71,81099879493° = 71°48'36″ = 1,25333207255 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,95105561666
Výška trojuholníka: v_b = 17.11004767143
Výška trojuholníka: v_c = 15,61334787391

Ťažnica: t_a = 20.10997512422
Ťažnica: t_b = 17,78334192438
Ťažnica: t_c = 15,81992920196

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,79220969516
Polomer opísanej kružnice: R = 12,10549256965

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[8,95765217391; 15,61334787391]
Ťažisko: T[10,6522173913; 5,2044492913]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 3,77987863285]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 5,79220969516]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,97696651716° = 131°58'11″ = 0,83882874836 rad
∠ B' = β' = 119,84403227777° = 119°50'25″ = 1,05499844445 rad
∠ C' = γ' = 108,19900120507° = 108°11'24″ = 1,25333207255 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 21 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 21 + 23 = 62

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 2}{2} = 31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31 (31 - 18) (31 - 21) (31 - 23) S = 32240 = 179, 56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 5 6}{1 8} = 19, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 5 6}{2 1} = 17, 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 5 6}{2 3} = 15, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 48 ° 1^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}) = 60 ° 9^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 1^{'} 49 " - 60 ° 9^{'} 35 " = 71 ° 4 8^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 9 , 5 6}{3 1} = 5, 79

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 5 , 7 9 2 \cdot 3 1} = 12, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 20, 1 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 17, 783 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 15, 819

Vypočítať ďaľší trojuholník