Trojuholník 18 23 27

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 18 b = 23 c = 27

Obsah trojuholníka: S = 204,66655808875
Obvod trojuholníka: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34

Uhol ∠ A = α = 41,23549578936° = 41°14'6″ = 0,72196857822 rad
Uhol ∠ B = β = 57,37879709914° = 57°22'41″ = 1,00114345119 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,3877071115° = 81°23'13″ = 1,42204723595 rad

Výška trojuholníka: v_a = 22,74106200986
Výška trojuholníka: v_b = 17,79770070337
Výška trojuholníka: v_c = 15,16604133991

Ťažnica: t_a = 23,40993998214
Ťažnica: t_b = 19,85657296517
Ťažnica: t_c = 15,62884996081

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,02195759085
Polomer opísanej kružnice: R = 13,65439812307

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[9,70437037037; 15,16604133991]
Ťažisko: T[12,23545679012; 5,0533471133]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; 2,04547991215]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 6,02195759085]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,76550421064° = 138°45'54″ = 0,72196857822 rad
∠ B' = β' = 122,62220290086° = 122°37'19″ = 1,00114345119 rad
∠ C' = γ' = 98,6132928885° = 98°36'47″ = 1,42204723595 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 23 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8}{2} = 34

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34 (34 - 18) (34 - 23) (34 - 27) S = 41888 = 204, 67

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 4 , 6 7}{1 8} = 22, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 4 , 6 7}{2 3} = 17, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 4 , 6 7}{2 7} = 15, 16

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 7}) = 41 ° 1 4^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 7}) = 57 ° 2 2^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 1 4^{'} 6 " - 57 ° 2 2^{'} 41 " = 81 ° 2 3^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 4 , 6 7}{3 4} = 6, 02

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 3 \cdot 2 7}{4 \cdot 6 , 0 2 \cdot 3 4} = 13, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 23, 409 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 19, 856 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 15, 628

Vypočítať ďaľší trojuholník