Trojuholník 19 19 22

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 19 b = 19 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 170,41112672331
Obvod trojuholníka: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30

Uhol ∠ A = α = 54,62334598481° = 54°37'24″ = 0,95333592232 rad
Uhol ∠ B = β = 54,62334598481° = 54°37'24″ = 0,95333592232 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,75330803039° = 70°45'11″ = 1,23548742072 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,93880281298
Výška trojuholníka: v_b = 17,93880281298
Výška trojuholníka: v_c = 15,49219333848

Ťažnica: t_a = 18,22877261336
Ťažnica: t_b = 18,22877261336
Ťažnica: t_c = 15,49219333848

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,68803755744
Polomer opísanej kružnice: R = 11,65112248998

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 15,49219333848]
Ťažisko: T[11; 5,16439777949]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 3,8410708485]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 5,68803755744]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 125,37765401519° = 125°22'36″ = 0,95333592232 rad
∠ B' = β' = 125,37765401519° = 125°22'36″ = 0,95333592232 rad
∠ C' = γ' = 109,24769196961° = 109°14'49″ = 1,23548742072 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 19 b = 19 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 19 + 19 + 22 = 60

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 0}{2} = 30

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30 (30 - 19) (30 - 19) (30 - 22) S = 29040 = 170, 41

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 0 , 4 1}{1 9} = 17, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 0 , 4 1}{1 9} = 17, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 0 , 4 1}{2 2} = 15, 49

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 2}) = 54 ° 3 7^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 2}) = 54 ° 3 7^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 54 ° 3 7^{'} 24 " - 54 ° 3 7^{'} 24 " = 70 ° 4 5^{'} 11 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 0 , 4 1}{3 0} = 5, 68

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 1 9 \cdot 2 2}{4 \cdot 5 , 6 8 \cdot 3 0} = 11, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 18, 228 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 18, 228 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 15, 492

Vypočítať ďaľší trojuholník