Trojuholník 19 19 24




Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 19   b = 19   c = 24

Obsah trojuholníka: S = 176,77110383519
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Uhol ∠ A = α = 50,83332892839° = 50°50' = 0,88772082676 rad
Uhol ∠ B = β = 50,83332892839° = 50°50' = 0,88772082676 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,33334214322° = 78°20' = 1,36771761183 rad

Výška trojuholníka: va = 18,60774777213
Výška trojuholníka: vb = 18,60774777213
Výška trojuholníka: vc = 14,73109198627

Ťažnica: ta = 19,44986503388
Ťažnica: tb = 19,44986503388
Ťažnica: tc = 14,73109198627

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,70222915597
Polomer opísanej kružnice: R = 12,25331384111

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[12; 14,73109198627]
Ťažisko: T[12; 4,91103066209]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; 2,47877814516]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 5,70222915597]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,16767107161° = 129°10' = 0,88772082676 rad
∠ B' = β' = 129,16767107161° = 129°10' = 0,88772082676 rad
∠ C' = γ' = 101,66765785678° = 101°40' = 1,36771761183 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=19 b=19 c=24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=19+19+24=62

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=262=31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=31(3119)(3119)(3124) S=31248=176,77

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=192 176,77=18,61 vb=b2 S=192 176,77=18,61 vc=c2 S=242 176,77=14,73

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 19 24192+242192)=50°50  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 19 24192+242192)=50°50 γ=180°αβ=180°50°5050°50=78°20

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=31176,77=5,7

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 5,702 3119 19 24=12,25

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 192+2 242192=19,449 tb=22c2+2a2b2=22 242+2 192192=19,449 tc=22a2+2b2c2=22 192+2 192242=14,731

Vypočítať ďaľší trojuholník