Trojuholník 19 20 20




Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 19   b = 20   c = 20

Obsah trojuholníka: S = 167,19773011146
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 56,71987000563° = 56°43'7″ = 0,99899280634 rad
Uhol ∠ B = β = 61,64106499718° = 61°38'26″ = 1,07658322951 rad
Uhol ∠ C = γ = 61,64106499718° = 61°38'26″ = 1,07658322951 rad

Výška trojuholníka: va = 17.65997159068
Výška trojuholníka: vb = 16,72197301115
Výška trojuholníka: vc = 16,72197301115

Ťažnica: ta = 17.65997159068
Ťažnica: tb = 16,74881342244
Ťažnica: tc = 16,74881342244

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,66877051225
Polomer opísanej kružnice: R = 11,36438197945

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[9,025; 16,72197301115]
Ťažisko: T[9,675; 5,57332433705]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 5,39878144024]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 5,66877051225]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,28112999437° = 123°16'53″ = 0,99899280634 rad
∠ B' = β' = 118,35993500282° = 118°21'34″ = 1,07658322951 rad
∠ C' = γ' = 118,35993500282° = 118°21'34″ = 1,07658322951 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=19 b=20 c=20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=19+20+20=59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=259=29,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=29,5(29,519)(29,520)(29,520) S=27954,94=167,2

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=192 167,2=17,6 vb=b2 S=202 167,2=16,72 vc=c2 S=202 167,2=16,72

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 20 20202+202192)=56°437"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 19 20192+202202)=61°3826" γ=180°αβ=180°56°437"61°3826"=61°3826"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=29,5167,2=5,67

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 5,668 29,519 20 20=11,36

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 202+2 202192=17,6 tb=22c2+2a2b2=22 202+2 192202=16,748 tc=22a2+2b2c2=22 192+2 202202=16,748

Vypočítať ďaľší trojuholník