Trojuholník 19 20 20
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 19 b = 20 c = 20Obsah trojuholníka: S = 167,19773011146
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Uhol ∠ A = α = 56,71987000563° = 56°43'7″ = 0,99899280634 rad
Uhol ∠ B = β = 61,64106499718° = 61°38'26″ = 1,07658322951 rad
Uhol ∠ C = γ = 61,64106499718° = 61°38'26″ = 1,07658322951 rad
Výška trojuholníka: va = 17.65997159068
Výška trojuholníka: vb = 16,72197301115
Výška trojuholníka: vc = 16,72197301115
Ťažnica: ta = 17.65997159068
Ťažnica: tb = 16,74881342244
Ťažnica: tc = 16,74881342244
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,66877051225
Polomer opísanej kružnice: R = 11,36438197945
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[9,025; 16,72197301115]
Ťažisko: T[9,675; 5,57332433705]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 5,39878144024]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 5,66877051225]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,28112999437° = 123°16'53″ = 0,99899280634 rad
∠ B' = β' = 118,35993500282° = 118°21'34″ = 1,07658322951 rad
∠ C' = γ' = 118,35993500282° = 118°21'34″ = 1,07658322951 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=19 b=20 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=19+20+20=59
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−19)(29,5−20)(29,5−20) S=27954,94=167,2
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=192⋅ 167,2=17,6 vb=b2 S=202⋅ 167,2=16,72 vc=c2 S=202⋅ 167,2=16,72
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 20202+202−192)=56°43′7" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 19⋅ 20192+202−202)=61°38′26" γ=180°−α−β=180°−56°43′7"−61°38′26"=61°38′26"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=29,5167,2=5,67
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,668⋅ 29,519⋅ 20⋅ 20=11,36
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 202−192=17,6 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 192−202=16,748 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 192+2⋅ 202−202=16,748
Vypočítať ďaľší trojuholník