Trojuholník 19 21 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 19 b = 21 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 194,53106852401
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Uhol ∠ A = α = 47,82325813991° = 47°49'21″ = 0,83546615022 rad
Uhol ∠ B = β = 54,99224613631° = 54°59'33″ = 0,96597995146 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,18549572378° = 77°11'6″ = 1,34771316368 rad

Výška trojuholníka: v_a = 20,47769142358
Výška trojuholníka: v_b = 18,52767319276
Výška trojuholníka: v_c = 15,56224548192

Ťažnica: t_a = 21,04216254125
Ťažnica: t_b = 19,56439975465
Ťažnica: t_c = 15,64444878472

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,98655595459
Polomer opísanej kružnice: R = 12,81993143253

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,9; 15,56224548192]
Ťažisko: T[11,96766666667; 5,18774849397]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 2,84333817488]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 5,98655595459]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,17774186009° = 132°10'39″ = 0,83546615022 rad
∠ B' = β' = 125,00875386369° = 125°27″ = 0,96597995146 rad
∠ C' = γ' = 102,81550427622° = 102°48'54″ = 1,34771316368 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 19 b = 21 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 19 + 21 + 25 = 65

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 19) (32, 5 - 21) (32, 5 - 25) S = 37842, 19 = 194, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 5 3}{1 9} = 20, 48 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 5 3}{2 1} = 18, 53 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 5 3}{2 5} = 15, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 47 ° 4 9^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 5}) = 54 ° 5 9^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 4 9^{'} 21 " - 54 ° 5 9^{'} 33 " = 77 ° 1 1^{'} 6 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 4 , 5 3}{3 2 , 5} = 5, 99

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 1 \cdot 2 5}{4 \cdot 5 , 9 8 6 \cdot 3 2 , 5} = 12, 82

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 21, 042 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 19, 564 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 15, 644

Vypočítať ďaľší trojuholník