Trojuholník 19 21 27

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 19 b = 21 c = 27

Obsah trojuholníka: S = 198,66435031907
Obvod trojuholníka: o = 67
Semiperimeter (poloobvod): s = 33,5

Uhol ∠ A = α = 44,4877456403° = 44°29'15″ = 0,77664525901 rad
Uhol ∠ B = β = 50,76112247363° = 50°45'40″ = 0,8865950504 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,75113188607° = 84°45'5″ = 1,47991895595 rad

Výška trojuholníka: v_a = 20,91219477043
Výška trojuholníka: v_b = 18,92203336372
Výška trojuholníka: v_c = 14,71658150512

Ťažnica: t_a = 22,24329764195
Ťažnica: t_b = 20,8510659462
Ťažnica: t_c = 14,79901994577

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,93302538266
Polomer opísanej kružnice: R = 13,55768433897

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[12,01985185185; 14,71658150512]
Ťažisko: T[13,00661728395; 4,90552716837]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; 1,24401623652]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12,5; 5,93302538266]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,5132543597° = 135°30'45″ = 0,77664525901 rad
∠ B' = β' = 129,23987752637° = 129°14'20″ = 0,8865950504 rad
∠ C' = γ' = 95,24986811393° = 95°14'55″ = 1,47991895595 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 19 b = 21 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 19 + 21 + 27 = 67

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 7}{2} = 33, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33, 5 (33, 5 - 19) (33, 5 - 21) (33, 5 - 27) S = 39467, 19 = 198, 66

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 8 , 6 6}{1 9} = 20, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 8 , 6 6}{2 1} = 18, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 8 , 6 6}{2 7} = 14, 72

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 7}) = 44 ° 2 9^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 7}) = 50 ° 4 5^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 9^{'} 15 " - 50 ° 4 5^{'} 40 " = 84 ° 4 5^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 8 , 6 6}{3 3 , 5} = 5, 93

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 1 \cdot 2 7}{4 \cdot 5 , 9 3 \cdot 3 3 , 5} = 13, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 22, 243 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 20, 851 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 14, 79

Vypočítať ďaľší trojuholník