Trojuholník 197 208 299
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 197 b = 208 c = 299Obsah trojuholníka: S = 20405,9298550301
Obvod trojuholníka: o = 704
Semiperimeter (poloobvod): s = 352
Uhol ∠ A = α = 41,01224937709° = 41°45″ = 0,71658030508 rad
Uhol ∠ B = β = 43,85773690016° = 43°51'27″ = 0,76554554903 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,13301372275° = 95°7'49″ = 1,66603341125 rad
Výška trojuholníka: va = 207,16767873127
Výška trojuholníka: vb = 196,21108514452
Výška trojuholníka: vc = 136,49545053532
Ťažnica: ta = 237,97111116922
Ťažnica: tb = 230,84441032385
Ťažnica: tc = 136,69876590875
Polomer vpísanej kružnice: r = 57,9711387927
Polomer opísanej kružnice: R = 150,10112802456
Súradnice vrcholov: A[299; 0] B[0; 0] C[142,05501672241; 136,49545053532]
Ťažisko: T[147,0176722408; 45,49881684511]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[149,5; -13,42217856994]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[144; 57,9711387927]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,98875062291° = 138°59'15″ = 0,71658030508 rad
∠ B' = β' = 136,14326309984° = 136°8'33″ = 0,76554554903 rad
∠ C' = γ' = 84,87698627725° = 84°52'11″ = 1,66603341125 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=197 b=208 c=299
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=197+208+299=704
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2704=352
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=352(352−197)(352−208)(352−299) S=416401920=20405,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=1972⋅ 20405,93=207,17 vb=b2 S=2082⋅ 20405,93=196,21 vc=c2 S=2992⋅ 20405,93=136,49
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 208⋅ 2992082+2992−1972)=41°45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 197⋅ 2991972+2992−2082)=43°51′27" γ=180°−α−β=180°−41°45"−43°51′27"=95°7′49"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35220405,93=57,97
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 57,971⋅ 352197⋅ 208⋅ 299=150,1
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 2082+2⋅ 2992−1972=237,971 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 2992+2⋅ 1972−2082=230,844 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1972+2⋅ 2082−2992=136,698
Vypočítať ďaľší trojuholník