Trojuholník 2 15 16

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2 b = 15 c = 16

Obsah trojuholníka: S = 13,39554283246
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 6,40992039782° = 6°24'33″ = 0,11218617119 rad
Uhol ∠ B = β = 56,84771120714° = 56°50'50″ = 0,99221692759 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 2,03875616658 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,39554283246
Výška trojuholníka: v_b = 1,78660571099
Výška trojuholníka: v_c = 1,67444285406

Ťažnica: t_a = 15,47657875405
Ťažnica: t_b = 8,58877820187
Ťažnica: t_c = 7,10663352018

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,81218441409
Polomer opísanej kružnice: R = 8,95882801753

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[1,094375; 1,67444285406]
Ťažisko: T[5,69879166667; 0,55881428469]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -4,03112260789]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,81218441409]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,59107960218° = 173°35'27″ = 0,11218617119 rad
∠ B' = β' = 123,15328879286° = 123°9'10″ = 0,99221692759 rad
∠ C' = γ' = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 2,03875616658 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 15 c = 16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 15 + 16 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 2) (16, 5 - 15) (16, 5 - 16) S = 179, 44 = 13, 4

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4}{2} = 13, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4}{1 5} = 1, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4}{1 6} = 1, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}) = 6 ° 2 4^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 6}) = 56 ° 5 0^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 6 ° 2 4^{'} 33 " - 56 ° 5 0^{'} 50 " = 116 ° 4 4^{'} 37 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 4}{1 6 , 5} = 0, 81

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}{4 \cdot 0 , 8 1 2 \cdot 1 6 , 5} = 8, 96

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 15, 476 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 8, 588 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 7, 106

Vypočítať ďaľší trojuholník