Trojuholník 2 20 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 20 c = 21Obsah trojuholníka: S = 17,73223856263
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 4,84438195264° = 4°50'38″ = 0,08545405991 rad
Uhol ∠ B = β = 57,60876345142° = 57°36'27″ = 1,00554428966 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,54985459595° = 117°32'55″ = 2,05216091579 rad
Výška trojuholníka: va = 17,73223856263
Výška trojuholníka: vb = 1,77332385626
Výška trojuholníka: vc = 1,68987986311
Ťažnica: ta = 20,48216991483
Ťažnica: tb = 11,06879718106
Ťažnica: tc = 9,57986220303
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,82547621222
Polomer opísanej kružnice: R = 11,84327381643
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[1,07114285714; 1,68987986311]
Ťažisko: T[7,35771428571; 0,5632932877]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -5,4777266401]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,82547621222]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 175,15661804736° = 175°9'22″ = 0,08545405991 rad
∠ B' = β' = 122,39223654858° = 122°23'33″ = 1,00554428966 rad
∠ C' = γ' = 62,45114540405° = 62°27'5″ = 2,05216091579 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=20 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+20+21=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−2)(21,5−20)(21,5−21) S=314,44=17,73
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 17,73=17,73 vb=b2 S=202⋅ 17,73=1,77 vc=c2 S=212⋅ 17,73=1,69
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 21202+212−22)=4°50′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 2122+212−202)=57°36′27" γ=180°−α−β=180°−4°50′38"−57°36′27"=117°32′55"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,517,73=0,82
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,825⋅ 21,52⋅ 20⋅ 21=11,84
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 212−22=20,482 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 22−202=11,068 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 202−212=9,579
Vypočítať ďaľší trojuholník