Trojuholník 20 20 21
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 20 b = 20 c = 21Obsah trojuholníka: S = 178,73114675708
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Uhol ∠ A = α = 58,33217567465° = 58°19'54″ = 1,01880812137 rad
Uhol ∠ B = β = 58,33217567465° = 58°19'54″ = 1,01880812137 rad
Uhol ∠ C = γ = 63,33664865071° = 63°20'11″ = 1,10554302262 rad
Výška trojuholníka: va = 17,87331467571
Výška trojuholníka: vb = 17,87331467571
Výška trojuholníka: vc = 17,02220445305
Ťažnica: ta = 17,903251379
Ťažnica: tb = 17,903251379
Ťažnica: tc = 17,02220445305
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,86600481171
Polomer opísanej kružnice: R = 11,74994699089
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[10,5; 17,02220445305]
Ťažisko: T[10,5; 5,67440148435]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 5,27325746216]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 5,86600481171]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,66882432535° = 121°40'6″ = 1,01880812137 rad
∠ B' = β' = 121,66882432535° = 121°40'6″ = 1,01880812137 rad
∠ C' = γ' = 116,66435134929° = 116°39'49″ = 1,10554302262 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=20 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+20+21=61
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−20)(30,5−20)(30,5−21) S=31944,94=178,73
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 178,73=17,87 vb=b2 S=202⋅ 178,73=17,87 vc=c2 S=212⋅ 178,73=17,02
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 21202+212−202)=58°19′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 21202+212−202)=58°19′54" γ=180°−α−β=180°−58°19′54"−58°19′54"=63°20′11"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=30,5178,73=5,86
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,86⋅ 30,520⋅ 20⋅ 21=11,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 212−202=17,903 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 202−202=17,903 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−212=17,022
Vypočítať ďaľší trojuholník