Trojuholník 20 20 27
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 20 b = 20 c = 27Obsah trojuholníka: S = 199,21107866055
Obvod trojuholníka: o = 67
Semiperimeter (poloobvod): s = 33,5
Uhol ∠ A = α = 47,54658497956° = 47°32'45″ = 0,83298316246 rad
Uhol ∠ B = β = 47,54658497956° = 47°32'45″ = 0,83298316246 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,90883004088° = 84°54'30″ = 1,48219294044 rad
Výška trojuholníka: va = 19,92110786606
Výška trojuholníka: vb = 19,92110786606
Výška trojuholníka: vc = 14,75663545634
Ťažnica: ta = 21,55222620623
Ťažnica: tb = 21,55222620623
Ťažnica: tc = 14,75663545634
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,94765906449
Polomer opísanej kružnice: R = 13,55334829514
Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[13,5; 14,75663545634]
Ťažisko: T[13,5; 4,91987848545]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; 1,20328716119]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13,5; 5,94765906449]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,45441502044° = 132°27'15″ = 0,83298316246 rad
∠ B' = β' = 132,45441502044° = 132°27'15″ = 0,83298316246 rad
∠ C' = γ' = 95,09216995912° = 95°5'30″ = 1,48219294044 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=20 c=27
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+20+27=67
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=267=33,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33,5(33,5−20)(33,5−20)(33,5−27) S=39684,94=199,21
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 199,21=19,92 vb=b2 S=202⋅ 199,21=19,92 vc=c2 S=272⋅ 199,21=14,76
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 27202+272−202)=47°32′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 27202+272−202)=47°32′45" γ=180°−α−β=180°−47°32′45"−47°32′45"=84°54′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=33,5199,21=5,95
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,947⋅ 33,520⋅ 20⋅ 27=13,55
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 272−202=21,552 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 202−202=21,552 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−272=14,756
Vypočítať ďaľší trojuholník