Trojuholník 20 20 30
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 20 b = 20 c = 30Obsah trojuholníka: S = 198,43113483298
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35
Uhol ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad
Výška trojuholníka: va = 19,8433134833
Výška trojuholníka: vb = 19,8433134833
Výška trojuholníka: vc = 13,22987565553
Ťažnica: ta = 23,45220787991
Ťažnica: tb = 23,45220787991
Ťažnica: tc = 13,22987565553
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,66994670951
Polomer opísanej kružnice: R = 15,11985789204
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 13,22987565553]
Ťažisko: T[15; 4,41095855184]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -1,8989822365]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[15; 5,66994670951]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=20 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+20+30=70
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=270=35
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35(35−20)(35−20)(35−30) S=39375=198,43
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 198,43=19,84 vb=b2 S=202⋅ 198,43=19,84 vc=c2 S=302⋅ 198,43=13,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 30202+302−202)=41°24′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 30202+302−202)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−41°24′35"−41°24′35"=97°10′51"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35198,43=5,67
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,669⋅ 3520⋅ 20⋅ 30=15,12
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 302−202=23,452 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 202−202=23,452 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−302=13,229
Vypočítať ďaľší trojuholník